まずは、r, θ, φのイメージから考えていこう。座標ってのはそもそも「位置情報」だよな。
直交座標なのか極座標なのかは、その位置情報の表し方が違うだけなんだ。

角度が二つあるんだよな。その角度がどう変わると、点がどう移動するのかイメージ掴みにくいってことだな？

じゃあ、3次元極座標を地球に当てはめてみよう。緯度がθ、経度がφに相当する。
ここ東京は北緯35°、東経140°だ。俺の故郷、熊本は北緯32°、東経130°だ。
地球上でφが10°マイナスになるということは、約1000km西へ移動することになる。
じゃあ、問題。北緯43°、東経141°の日本の大都市はどこだ？誰もが知ってるであろう、７大都市の一つだ。

正解。札幌だ。今、頭の中で地球を思い浮かべただろう？8°北へっていうことはまさしくθが8°変わったことに相当するな。

もう一回上の図を見てみよう。地球における北緯90°、すなわち北極点がθ=0になる。そして、地球上で南へ移動することを思い浮かべながらθがだんだん増えていくことを想像してみよう。θ=90°は地球におけるどこだ？

そうそう。さらに南へ移動していく。θがだんだん増えていく。θ=180°が？

その通り！

じゃ、その次。φ=0°が本初子午線としよう。イギリスのグリニッジ天文台を通る線がφ=0°だ。そして、θ=55°に固定する。北緯35°の位置だな。φが増えていくにつれてヨーロッパからアジアへ。そしてφ=140°の位置の都市は？

そうだな。そして日本から太平洋へ。φが180°になると？そこは？

そうだな。だんだんわかってきただろ？地球上ではここで西経に切り替わるが、φはこのまま増えていくとしよう。φが増えていくとアメリカの西海岸から東海岸、そしてヨーロッパへ。
最後φ=360°がφ=0°と同じ位置になって地球一周ゴールだ。

そうそう。球座標っていうのはそういうイメージだ。

任意の点（r, θ, φ）は（x, y, z）で表すとどうなるか？っていう問題は、その任意の点における（x, y, z）の座標を求めよっていうことになる。
xの座標はすなわち赤色の線の長さだ。

まずは、下の図の紫色の線の長さを求めてみる。

そうそう。　そうしたときに、青色の三角形を取り出してみよう。
これでもう、紫色の線の長さが分かるだろ？

次に、同じようにxy平面上で三角形を取り出してみる。

そしたら、赤色の線の長さは、rsinθにコサインがかかってrsinθcosφになるのがわかるか？

でも、３次元を２次元である紙に表現するには、こうするしかないんだよな。ここがこの問題の難しさだと思う。
３次元のモノを真上から見たら？横から見たら？どうなる？っていう想像がしっかりできないと、理解が難しい。

さて、赤色の線の長さ、すなわちx座標と青色の線の長さ、y座標が分かったところで、
最後にz座標を求めてみる。これは簡単でθだけで表現できる。

これで、先ほどの関係式が全部揃うよな。

そうだな。アタマ疲れてボケーッとしているときにいきなりこの問題を出されたらちょっと戸惑うよな。
使っている理論自体はただの数学Ⅰの三角比だけなんだけどさ。
なんつーのかな・・・。空間認識能力？こういうやつが長けてないと今までやった見たみたいに一個一個考えないと混乱しちまう。
俺はあんまり長けてないからな～。こんな風に考えるんだが・・。