しままるの雑記帳

しままるの思ったことや考えたことをアウトプットする場。「PC/プログラミング」「写真/旅行」「科学(勉強)」「心の問題」が主なテーマ。

科学

ベクトル解析の勾配のイメージ

投稿日:2017年4月10日 更新日:

勾配の数式と実際のイメージを結ぶ

流体力学、電磁力学には「∇」といったベクトル解析の演算子がたくさん出てきます。このとき、ベクトル解析の内容をしっかり理解していないと、もうその時点でその分野の勉強が進まなくなってしまいます。ここでは、ベクトル解析の「勾配」と呼ばれる演算子をテーマに、勾配の定義(数式)と実際の現象のイメージを結び付け、頭の中をスッキリさせた状態にしていただくことが目的です。

はじめに

ベクトル解析の基本を説明したページ(こちら)で勾配について

「勾配」の定義は以下の通りです。

あるスカラー変数Tがあったとき、その勾配は

で表される。

と説明しました。このページではこの定義の物理的イメージについて書いてみたいと思います。

勾配のイメージ

偏微分

まず、偏微分について説明します。とある平面T(x,y)があるとします。Tは二変数関数でスカラーです。ここで、xyの値を決めてあげればTの値が決まりますよね。ここで任意の点Aをとり、平面に沿ってΔxだけずらした点を点Bとおきます。ここで重要なポイントはy方向には一切ずらしません。これにより、Tは疑似的にxだけの関数と見なすことができます。

このとき、Δxをギューッと0に近づけていった時の値が「Tx偏微分値 ∂T/∂x」です。微分の定義と同じで、ただ「y方向に変化しない」という仮定が加わっただけですね。

次に、任意の点Aから平面に沿ってΔyだけずらした点を点Cとします。今度はx方向に一切ずらしません。これでTを疑似的にyだけの関数と見なすことができます。

先ほどと同様にして「Ty偏微分値 ∂T/∂y」も定義できました。

偏微分にベクトルの概念を入れてみる

点Aと点Bの間の傾きは∂T/∂xです。点Aと点Cの間の傾きは∂T/∂yです。では、点Aと点Dの間の傾きは??

ここでベクトルの概念が登場します。∂T/∂xx方向を表す基底ベクトルiをつけて、∂T/∂yにy方向を表す基底ベクトルjをつけ、足し算してあげればAD間のベクトルが表現できます。

つまり

ということです。これはTの勾配そのものです。このように偏微分とベクトルを組み合わせて使うことにより、点Aから見た時の平面Tの傾きをどの方向でも表現できるようになりました。

ポテンシャル

勾配を使ってポテンシャルというものを表現することができます。力学的ポテンシャルUは力Fを使ってこんなふうに定義されます。

ポテンシャルというのは「潜在すること」という意味を持ちます。ポテンシャルUは坂道だと思ってください。坂道は勾配が大きいほど質点に大きな力を与えることができます。ポテンシャルUだけだとただの坂道ですが、そこに勾配という意味をつけることによって(∇をつけることによって)Fという力が生まれるのです。そしてその大きさは坂道の勾配に依存します。

以上が勾配とポテンシャルの説明です。厳密さを考えると少しいい加減な部分もあったかもしれませんが、厳密さよりも直感的なイメージを大切にしました。数式とイメージがリンクできるようになれば幸いです。

-科学

執筆者:


comment

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

関連記事

物質が光を吸収するとは?

目次1 物質の光の吸収1.1 励起1.2 量子化2 エネルギーギャップ3 吸収スペクトルを利用した物質の同定 物理化学の専門用語「吸光」について解説 原子や分子は特定の波長を吸収して、様々な変化を見せ …

自律神経失調症ってどんな状態?どんな症状?

目次1 神経の役割1.1 神経と神経伝達物質2 自律神経の働き2.1 交感神経と副交感神経2.2 交感神経の神経伝達物質 アドレナリン2.3 副交感神経の神経伝達物質 アセチルコリン2.4 自律神経が …

ベクトル解析の公式を証明する

目次1 公式その1 ∇・(∇×A) = 01.1 ① ∇×A1.2 ② ∇・(①)2 公式その2  ∇×∇×E = ∇(∇・E) – ∆E2.1 ① ∇×∇×E2.2 ② ∇(∇・E)2. …

電磁波とは何か ~波のイメージと色々な電磁波~

目次1 波動とは?一言でいうと?2 電磁波とは?一言でいうと3 電場と磁場について4 電磁波の波長とエネルギーの大きさ5 電磁波の種類6 電磁波と物質 波動と電磁波について勉強して身の回りの現象を見て …

ルビーの色はなぜ赤色なの?

目次1 ルビーの基本構造 コランダム1.1 コランダムの成分”アルミナ”1.2 コランダム型のアルミナの構造2 アルミナ中の不純物2.1 コランダム型にクロム原子が入るとルビーになる2.2 原子の電子 …

管理人


名前:しままる
年齢:20代後半
趣味:写真、科学の勉強
好きなもの:動物、新幹線、飛行機
元職業:メーカー技術系職員
現職業:好きな場所・好きな時間で働く自由人

お問い合わせはこちら

↓最近の記事