まぁまぁ。まず、円を描くやろ？

次に円の先っちょに点を打つたい。

これをな、直線上で転がすたい。

それで、赤い点が移動したやろ？赤い点を追いかけたら曲線ができるたいね。

せや！この辺ば雪降らんが、長崎の方に行くとたまに降るやろ？その雪道を車走ると轍ができるやろ？
そういう、モノが通った跡のことを「軌跡」っていうたいね。
そのことを理解した上でもう一回、「サイクロイド」の定義を読んでみ？

ああ。つまり、こういうことだな。
軌跡を残して描いたら、サイクロイドのできあがりってことたいね。

アステロイドがどんな曲線か覚えとる？

・・・・。

思い出した？

さっきのサイクロイド曲線は直線の上に円を転がしたやろ？

今度は円の中で円を転がすねん。

じゃあ、次は軌跡を残して描いてみるで。

ああ。アステロイドってのは
「円の中に半径1/4の円を描いたときに、円上の定点が描く軌跡」のことを言うたい。

それでな、高校の数学ではな、直線上で円を転がして出来た曲線の事だけをサイクロイドと言うが、実はアステロイドもサイクロイドの一種たい。

もう一回、サイクロイドの説明を見てみ？

円がある規則に従って回転する時・・・・ってあるやろ？
直線上を円が回転しようが、円の中を円が回転しようが、
円がある規則に従って回転していることには変わりはないたい。

せや！せやから、
高校数学でいうサイクロイドってのは
直線上に円を回転させてできるサイクロイド、
アステロイドってのは
円の中の円を回転させてできるサイクロイド
っていう表現ができるたい。もう一回、サイクロイドとアステロイドのイメージ動画を観てみ？

円の中の円を回転させてできるサイクロイドで特に半径比が4：1の場合をアステロイドっていうたい。一般的には他にも別名があってな
ハイポサイクロイドとか、内（ない）サイクロイドとか言ったりするたい。

せやせや！描いてみるか？

ある円に対して、半径が1/3の円を用意して、円の周りを転がすたい。

おおっ！ええこと気づいたな！例えば、内サイクロイドであるアステロイドは媒介変数表示でこんな式やけども

これを3倍角の公式を使って式の形を変えると、こうなるんや。

この3をな、nに置き換えて、nを色々な数字に変えると色んな図形が描ける

nが2のとき、半径1/3の円を転がしたときの軌跡ができるたい。

nが3のとき、半径1/4の円を転がしたときの軌跡ができる。これがアステロイドだったやろ？

こういうふうに、上の式に従ってnを変えると、1/(n+1)の円を転がしたときの軌跡ができるたい。

せやせや！なかなか柔軟なアタマしとるなぁ～！

（・・・かわいいなぁ。）

nを1から100まで変化させてグラフを描くとこんな感じ

せやな！どんどんドゲが細かくなっていくからな。
それでな、もっとおもろいのがな、nを小数点にするとな・・・

（さらに言うと、バラ曲線にフーリエ級数を仕込むとサクラの花びらまで表現できるんだが・・・まぁいいや。）

ちなみにだが、内サイクロイドはこういう形の式でも表現される。

この数式使ってな、「半径aの円の内周を半径bの円が転がるとき、半径b上の定点が描く曲線を内サイクロイドという」という表現できるたい。

せやな。

せやせや！ダイヤのマークはアステロイドな。

（・・・やっぱりかわいいなぁ。）

さっき、円の外に小さい円を置いて転がした軌跡でお花みたいな形を描いたやろ？

これもな、円をある規則に従って回転させとるけん、サイクロイドって言うけど、この場合を特に外サイクロイド、エピ・サイクロイドって言うたい。

描ける。外サイクロイドの式は以下の通り。

この数式使ってな、「半径aの円の外周を半径bの円が転がるとき、半径b上の定点が描く曲線を外サイクロイドという」という表現できるたい。

これもまた、aを小数点にすると、色々な形が描ける。

そっか。それは良かった。ちなみにaもbも1のとき、どんな形やった？

カージオイドやろ？心臓形。