【阪大入試問題】円周率が無理数であることを証明する

資料請求番号:TS12

入試問題解説 πが無理数であることの証明

今回は数学的に大変面白い問題

円周率が無理数であることの証明

を行います。

この問題に取り組むにあたって、部分積分を何度も使用しますので、部分積分に慣れていない方はこちらを見て部分積分の計算に慣れましょう。計算に慣れていないと泥沼にはまり込んでしまいます。

他にもいろいろな数学的技法を使用しますが、ここで言及してしまうとネタばらしになってしまいますので、敢えて伏せておきます。

問題

円周率が無理数であることを証明する問題は以下の通りです。

出典:大阪大学 入学試験過去問題

(1)部分積分と漸化式

ストーク

部分積分に漸化式を絡めた問題は前回の部分積分の記事で示した通り、数学Ⅲの範囲の入試問題に頻出の問題だ。
だから部分積分の計算にはしっかり慣れておかなければならんたい。

ストーク

さて、まずは手始めにI0I1を求めてみるぞ。シママ、やってみろ。

シママ

え?うん。

・・・・

シママ

はい。

ストーク

おっけーだ。

シママ

やった!

ストーク

まぁ、これくらいなら出来て当たり前だな。

シママ

(・・・・・!)

ストーク

この時点で躓いてしまう場合は、この先ついて行くのはかなり難しいと思うから、部分積分の計算の記事を見て復習せないかん。
あと、躓く要素としては・・・合成関数の微積分だな。例えば積分した際に1/πが出てくるところがよく分かっていない人は合成関数の微分から復習しよう。
それから、cosπとかcos0が一瞬で出てこない人は三角関数をしっかり復習しよう。
これから先は、これらが当たり前にできること前提で話を進めてくったい。

ストーク

ところでオマエ、I1を計算するとき、

ストーク

とか

ストーク

の計算に30秒くらいかかっていたが・・・

シママ

(うっ・・・・)

ストーク

・・・フッ(笑)

シママ

なによ!?センスないって言いたいなら言いなさいよ!後から気づいたわよ!!
t(1-t)とかsinπtがある時点で0と1、どっち代入しようとも結局、値は0を返すってこと!
言っておくけど、ワタシだって受験期はそのくらいのセンス、あったからね!?時間たって鈍ってるだけで・・・・。

ストーク

はいはい、わかりましたよ~。次、漸化式を求めるが、そこんとこアタマ入れて置けば計算がスムーズに進むったい。

シママ

(・・・悔しい。)

ストーク

それじゃ、問題の漸化式の証明に移るぞ。

ストーク

今回の場合、In+1の値がInとかIn-1で表されることを示したいので、
In+1を求めることをやってみよう。

ストーク

ここで部分積分の計算をするんだが、微分役をtのn乗うんたらかんたらに、積分役をsinπtにする。シママ、やってみろ。

シママ

ええ・・・。

・・・。

シママ

あ~。tn+1(1-t)n+1の微分がめんどくさい。

ストーク

積の微分公式と合成関数の微分使えばできるやろ。

シママ

それを適用するのがめんどくさいのよ・・・・はい。ここまでOK?

ストーク

やりなおし。インテグラルの中身以外のところでもっと簡単にできるところがある。

シママ

あ~はいはい。(n+1)/(n+1)! = 1/n!ね。πも次数が1つ下がって・・・

ストーク

よし。じゃあ、これをもう一回部分積分だな。

シママ

またやるの・・・?

ストーク

俺らが求めたいのは漸化式だろ?もう一回積分すりゃ、cosがsinになって漸化式ができそうな気がしないか?

シママ

まぁ、そうね。受験数学にはそういう感覚が必要なのよね・・・。

・・・・

シママ

はぁ~。まためんどくさい微分しなくちゃいけないのね~。しかも今度は項が3つ。

シママ

・・・・・。

ストーク

どうした?手が止まったが・・・。

シママ

これ、どうやって漸化式に結びつけるのよ?

ストーク

漸化式を作るときっていうか、証明問題を解くときの鉄則。
邪魔者は排除する。
この式における邪魔者は?

シママ

1-2tの2乗

ストーク

じゃ、こうすればええんじゃないのか?

シママ

あ、な~るほど・・・。

シママ

できた~!

ストーク

はい。おめでとさん。次行くぞ。

シママ

(もうちょっとこう・・・何かないの!?なんか・・・!!)

(2)漸化式の極限

ストーク

anInの極限値だな。解くのに何か案が思いつくか?

シママ

・・・・いや、なにも。

ストーク

ヒント。tの定義域は0~1だ。この情報から、anInが取り得る最大の数が求められるたい。

シママ

anInが取り得る最大の数・・・・。

ストーク

Inは何だった?もう一回見てみろ

シママ

・・・積分記号の中身って0から1しか取り得ないから・・・・こうね。

シママ

ということは、anInが取り得る最大の数は・・・。

シママ

こうだら?

ストーク

・・・・。

シママ

(わざと返事しないってのがムカつくわ~・・・)

シママ

そしたら、anInに関するこの不等式が成り立って

シママ

問題文に与えられている条件として累乗よりも階乗の方が極限とったときに強いからそれが分母にまわりゃ0になって

シママ

挟み撃ちの原理で極限値はゼロ。これでいいんだら!?

ストーク

やるやん。

シママ

うるさいわね!ワタシだってやりゃできるのよ!!
挟み撃ちを使って極限を求める問題はよくあるパターンよね!?x/exの無限大とか?
大学生になればロピタルの定理使えばいいけど・・・

ストーク

最初手も足もでなかったくせに。よく言うぜ。

シママ

(・・・やっぱり悔しい!)

(3)πが無理数であることの証明

ストーク

じゃ、πが無理数であることを証明しようか。どうやる?

シママ

この場合、背理法かしら?πが有理数として、0でない2つの正の整数p,qを定義して・・・

シママ

この先、どうしたら・・・。

ストーク

わかんないのか?

シママ

わかりません!!

ストーク

とりあえず背理法でやろうというアプローチは正解だ。
元々、有理数の定義ってのが二つの整数の比で表される実数ってことだから、二つの整数p,qを置いて、その比をπに代入し、
シママが最後に書いた式の矛盾を証明すればOKだ。

ストーク

受験数学もそうだが、学校の定期テストってのは、
大問の最後の問題を解くヒントのために、大問までの問題が用意されていることが多いたい。
ドラマやアニメにも伏線ってのがあるだろう?伏線をキレイに踏んでるドラマやアニメは面白いよな。
試験問題も同じで伏線をしっかり踏んだ問題は面白い。「πは無理数」という結末に対して2つの伏線がある。
オマエが最後に書いた式は1つ目の伏線だ。あと、もう1つ伏線があるやろ?

シママ

anInの極限が0?

ストーク

そうだな。じゃあ、この伏線に沿うように式を変形していけばいいんじゃないのか?
何のために阪大の先生はanInの極限を求めさせたんか?

シママ

pnInの極限が0にならないことを示せばいいんだら?

ストーク

もう一声!!

シママ

・・・・・・。

ストーク

・・・・・・・。

シママ

・・・・・・・・・・。

シママ

整数!pnInが1以上の整数だったらいいんだら!!?

ストーク

どうやって証明するの?

シママ

(・・・わかんない。悔しい。)

ストーク

ヒント。最初の最初に解いた2つの式。I0, I1から

シママ

n=0も1も整数・・・。あ。

シママ

さっきの式にpn+1乗をかけて、漸化式を作る。
もう、n=0も1も2以上の整数だってことが分かっているんだから、この式からいえることはpnInは整数。
しかも0でない整数。だから

シママ

が成り立つけど、さっきの

シママ

と矛盾するからπは有理数ではない。したがって無理数!

ストーク

おつかれさん。

シママ

あ~やっとできた~。また受験勉強するの、ワタシ無理。アンタ、また阪大でも東大でも受けたら受かるんじゃないの?

ストーク

さぁな。興味ないったい。

まとめ

今回は、πが無理数であることの証明ということで、
・部分積分を使った三角関数の積分
・挟み撃ちの原理
・背理法
を利用してこの問題について解説しました。

今回は「πが無理数であることを証明する」という難しく、数学的には大変面白い問題を、
高校までに習う様々な数学の知識を使いながら解いていきました。

このように一つの難しい問題を、誘導されながら解いていくという出題パターンはよくある、
というより難関なテストはほとんどこのパターンなのではないかと思います。

数学の大問は下に進むにつれてだんだんと難しくなっていくのですが、それまでの間の問にヒントが隠されています。
そのヒントを掴みとって正解を勝ち取るのがコツになります。

良問の数学には物語が隠されています。大学の先生が撒いた物語の種をキレイに咲かせるのが受験生のやるべきことです。

そこにはどんな風に育てたらキレイな花が咲くのか?早く育てるには?といったコツが必要になります。

漸化式を求めるために2回の部分積分をした
極限を求めるのに挟み撃ちの原理をつかった
πが無理数であることを証明するために背理法をつかった

というように。このコツというのは大量の実践よって得られるモノなのです。
部分積分を覚えたから、挟み撃ちの原理を覚えたから、背理法を覚えたから解ける問題ではありません。

数学は大量の実践によってできるようになる教科で、実はかなり泥臭い教科なのです。
手の甲の側面を真っ黒にするまで数式に向き合う教科だと思っています。
頭がずば抜けていい方の中にはそんなことをしなくても余裕で受験をパスできる方もいるかもしれませんが。

また、数学の問題で出されるような、難しい問題を1個1個の要素に分解して一つずつ解いていくというアプローチは、
誰にも分からないような難問を、これまでに習ってきたことに関する要素ごとに分解して、一つずつ仮説と実証を行う研究開発に似ています。
そして、一つずつ仮説と実証を行うこともまた泥臭いのです。

ある難問は絶対に手が届かないけれども、はしごを立てれば登って到達することができる。そのはしごを立てる練習をさせられてきたんだなぁと
今、もう一回受験数学をやってみて思いました。

おまけ:円周率が3.05以上であることの証明のアプローチ

シママ

そういえば、πといえばπが3.05より大きいことを証明せよっていう、東大の問題、なんかのドラマに出てきたわよね?

ストーク

あぁ、「受験の神様」のことか?あの問題、クソ簡単だぜ。東大の入試問題にこんな簡単なのでるのか~思てな。
多分、「複雑な形を細かく分割して解析する」っていう古典数学の思想の根本がスッポリ抜けてるヤツにはできないのかもしれない。
それを振るいにかけたかったんじゃないやろかって思うたい。
やるか?

シママ

いい!また悔しい想いをするのが嫌だから!!

ストーク

あ、じゃあ、一言だけ。

シママ

なに?

ストーク

成海璃子ちゃんは「加法定理を使った証明に移りますが・・・」と言っていたが、数学Ⅱの加法定理なんか使わなくてもよか。
数学Ⅰの余弦定理でえぇ。

シママ

どういうこと?

ストーク

(なんだかんだで興味持ってんじゃねぇか。)
円に内接する正12角形一個の2つの辺の長さとそれを作る角の角度はわかるやろ?

シママ

うん。

ストーク

そしたら、最後の一つの辺の長さは余弦定理で出るたい。それを12倍して、それと2πを比較すりゃええやろ。

シママ

あ~。なるほど。

ストーク

しかも、これ正十二角形じゃなくて正八角形でもええたい。計算すると、ぎりぎり3.05以上になるたい。

シママ

へぇ~・・・。って、アナタなんでそんなことまで・・・。

ストーク

俺、このドラマ観た瞬間に加法定理?いや、余弦定理でええやろって思て。
それから、いろいろ3.05よりも大きいことを証明する方法を考えてた。

ストーク

あ。

シママ

なに?

ストーク

今、思いついたんだが、マクローリン展開でもできるやろ。やってみようか。

シママ

もういい。疲れた。

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