部分積分の覚え方・コツ

資料請求番号:TS11

部分積分をマスターして国公立大学の入試問題を解いてみよう

高校数学で微積分を学んでいると、部分積分というものに出会うことがあるかと思います。
この部分積分の公式、使うのにはちょっとしたコツが要ります。

今回は、そのコツと部分積分を応用した国公立大学の入試問題を解説したいと思います。

※今回取り扱う部分積分は基礎的内容です。既に
   
のような積分の計算がスラスラできるような方には易しすぎる内容になると思いますので、ご了承ください。

応用問題はこちら

部分積分とは?

二つの微分可能な関数f(x)、g(x)が存在する時、次の公式が成り立つ。

ファビー

なんかもうね、この公式の時点で意味が分からないねん。積分の中に微分があって、??って感じ。

ストーク

なるほどな。ファビーさ、例えばf'(x)からf(x)になるときってどんなことをしている?

ファビー

どんなこと??

ストーク

あぁ、じゃあ、質問を変えてだな、f(x)からf'(x)を求めるには微分をするよな。じゃあ、
f'(x)からf(x)を求めるにはどうすればいい?

ファビー

微分の反対やから・・・積分する?

ストーク

その通りだ。じゃ、もう一回この公式を見てみよう。
f'(x)からf(x)は積分している。g(x)からg'(x)は微分しているんだな。そして、右辺第一項には数学的処理を加えない「そのまま」のヤツもある。

ストーク

この公式を見ながら、
積分・そのまま・マイナス・積分・微分と10回唱えてみろ。

ファビー

積分・そのまま・マイナス・積分・微分、積分・そのまま・マイナス・積分・微分、積分・そのまま・マイナス・積分・微分
積分・そのまま・マイナス・積分・微分、積分・そのまま・マイナス・積分・微分、積分・そのまま・マイナス・積分・微分
積分・そのまま・マイナス・積分・微分、積分・そのまま・マイナス・積分・微分、積分・そのまま・マイナス・積分・微分
積分・そのまま・マイナス・積分・微分!!

部分積分のコツ

よくある間違い

ストーク

ハイ。それじゃあ、この問題を解いてみよう。

ファビー

えっと・・・積分・そのまま・マイナス・積分・微分・・・。

・・・・

ファビー

できないよぉ!!

ストーク

見してみ。

ストーク

あぁ~。。。これじゃあ、できないんだよなぁ~。。

微分役と積分役

ファビー

もう!積分・そのまま・マイナス・積分・微分って覚えたのにできないじゃん!

ストーク

もう一回、この公式を見てみよう。

ストーク

f(x)は積分されるだけ、g(x)は微分されるだけ、ということに注目だ。

ストーク

xは積分するとどんどん次数が増えていくやろ?そしたら収拾つかなくなるたい。
俺らのゴールはなるべく簡単な形にすることだ。
だから、xとexがあったときに、どっちを微分してどっちを積分したら簡単になるのか?を考えなくちゃいかんたい。

ファビー

あ~。。。xを微分すれば1になるからxをg(x)に当てはめて、exをf(x)に当てはめればよかったってこと?

ストーク

そういうこと!それでもう一回解いてみな。

・・・・

ファビー

できた!

ストーク

そうそう!こうやって、どっちの関数を微分するのか、どっちの関数を積分するのかをメモっておくとやりやすいよな。
この場合、xを微分役、exを積分役にしてやればいいんだよな。

ストーク

関数にもな、人間と同じように性格があるったい。
微分すりゃおとなしくなるヤツ、微分しようが積分しようが微動だにしない落ち着いたヤツ、二重人格で微分したり積分すると表裏がひっくり返るヤツ・・・
その性格に応じた役割を与えなきゃいけん。役割論理ってやつですなwwww
数学に慣れるとこういった関数の性格が分かってくるから、xは微分以外ありえないwwwってなるたい。

ファビー

ふぅ~ん・・・。

ストーク

じゃあ、次の問題。これは?

・・・

ファビー

・・・こう?

ストーク

そうだな!xを微分役にしてやればいいんだよな。

国公立大学の入試問題を解く

ストーク

じゃあ、この部分積分を応用した国公立大学の入試問題をやってみよう。

ファビー

え~、いやいや、ムリやて~!!

ストーク

大丈夫だ。国公立大学の入試問題といえど、教科書に出てるレベルの問題だ。


出典: 信州大学入試過去問題

ファビー

信州大学?長野? 長野いいとこやね~!ハイキングにスキー!今はスキーの季節やけんね!

ファビー

てかもう、nとかやめて~!!ムリや~!!

ストーク

まぁ、一見難しそうな問題でもな、一個一個考えていきゃ、別にそんなに大したことないから。
そうだな・・・最初。最初の式変形だけ受験テクニックっぽいのがいるたいね。最初の式変形はこうする。

ファビー

・・・・。

ストーク

それで、ファビーだったらどっちを微分役にして、どっちを積分役にする?

ファビー

・・・sinのn-1乗の方を微分して、sinxを積分する。

ストーク

どうしてだ?

ファビー

だって、n-1乗を積分するとか難しそうやけん。あと、n-1乗を微分すれば、n-2が出てくるやろ?それって、In-2のもとになったりするん?

ストーク

そうそう!そういう考え方が大事ったい!
続き、やってみな。

・・・・

ストーク

・・・・。

ファビー

・・・・。

ストーク

・・・・。

ファビー

・・・・。

ストーク

(・・・・時間かかるなぁ)。

ファビー

ああ、やっぱムリや!

ストーク

どこがムリ?

ファビー

cosの2乗!

ストーク

あぁ・・・。でも、合成関数の微分が出来たのは良かったな!よくできた!
cosの2乗はな・・・これ。

ファビー

あ~、こんな公式、あったなぁ~。

ストーク

(しょっちゅう使うんだが・・・まぁ、いいか。)
これ使って、続きをやってごらん?

・・・・

ストーク

・・・・。

ファビー

・・・・。

ストーク

・・・・。

ファビー

・・・・。

ストーク

(・・・・やっぱり時間かかるなぁ)。

ファビー

できた!!

ストーク

よしっ!じゃあ、(2)もやってみよう。

・・・・・

ファビー

・・・これでよか?

ストーク

・・・おっけ。正解だ。おめでとう!

ファビー

よかった~!

まとめ

今回は、部分積分とそれを使った具体的な問題の解法、そして色々ある過去問のうち、比較的基礎的な問題に触れてみました。
部分積分と三角関数を絡めた問題は、大学受験によく出てきます。
数学Ⅲが入試の範囲に入っている場合は、

・「積分・そのまま・マイナス・積分・微分」と10回唱えて
・微分役と積分役を意識して

部分積分に慣れてみてください。数学は慣れの積み重ねです。

部分積分を応用した、大阪大学の「πは無理数であることを証明せよ」という問題もやってみました。部分積分に慣れたら見てみてください。

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