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一般化した複雑な電気回路や機械力学の微分方程式をラプラス変換で解く

ストーク、今回もラプラス変換で微分方程式を解く話なのね？前回、基礎的なラプラス変換はやったけど、今回は複雑な回路や機械力学系にも応用していくって聞いたよ。

そうたい、シママ！前回は基礎的な話だったけど、今回はもう少し複雑な系の微分方程式をラプラス変換で解いてみるっちゃ。
ほんなこつ、RLC回路とか、機械系のバネダッシュポットなんかも扱うとよ。

こちら↓の記事でラプラス変換の基礎的な説明と簡単な演習を行いました。

ラプラス変換の基礎と応用～簡単な電気回路・運動方程式を解いてみる～

今回は、ラプラス変換による微分方程式の求解に慣れてきた人のために、より一般化した、すなわち複雑な微分方程式の例題を取り扱っていきたいと思います。

RLC直列回路のステップ応答

$$Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}{\int }_0^{t}i(t^{\prime })d{t}^{\prime }=V_0$$

さらに、今回はステップ関数Θを使用し、ある時刻t=0において、回路のスイッチを入れたとき、その応答はどのようになるか？を計算します。

$$Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}{\int }_0^{t}i(t^{\prime })d{t}^{\prime }=V_0\mathrm{\Theta }(t)$$

なるほど、RLC回路で0秒時点にスイッチを入れると、その後の電流$i(t)$がどう変化するかをステップ応答として求めるんだね。前はRL回路でやったけど、Cが入ると微分方程式も積分項があってややこしいね。

そうそう、Cが入ると電流の積分項が出てくるけん、ちょい複雑になるっちゃけど、ラプラス変換を使えばちゃんと代数方程式で処理できるとよ。

このようなステップや、後ほど取り扱うインパルスに対する過渡応答の解析と言うのはラプラス変換の得意とするところです。

上の式を微分します。ステップ関数は微分するとインパルス関数になります。

$$Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}{\int }_0^{t}i(t^{\prime })d{t}^{\prime }=V_0\mathrm{\Theta }(t)$$

$$L\frac{d^{2}i(t)}{d{t}^2}+R\frac{di(t)}{dt}+\frac{i(t)}{C}=V_0\delta (t)$$

さらに、両辺をLで割ったこの式をラプラス変換していきます。

$$\frac{d^{2}i(t)}{d{t}^2}+\frac{R}{L}\frac{di(t)}{dt}+\frac{i(t)}{LC}=\frac{V_0}{L}\delta (t)$$

ステップ関数$\mathrm{\Theta }(t)$を微分するとインパルス$\delta (t)$になるんだね。なるほど、ここからラプラス変換するわけだね。初期条件はどうなるの？

最初はスイッチ入れたばっかりで電流が流れてないけん、$i(0)=0$、それに$\frac{di(0)}{dt}=0$やね。
これを考慮するとラプラス変換が楽になるとよ。

まず、1項目をラプラス変換すると以下のようになります。（※ここで？になった方はこちらをチェック！）

$$\mathcal{L}\left[\frac{d^{2}i(t)}{d{t}^2}\right]=s^2\mathcal{L}[i(t)]–si(0)–\frac{di(0)}{dt}$$

求めるべき関数$i(t)$のラプラス変換を$I(s)$とおき、

$$\mathcal{L}[i(t)]=I(s)$$

回路のスイッチを入れる瞬間$t=0$では電流が流れていないことから

$$i(0)=0\text{and}\frac{di(0)}{dt}=0$$

よって

同様に他の項もラプラス変換すると、以下のような代数方程式が得られます。

1.
$$\mathcal{L}\left[\frac{d^{2}i(t)}{d{t}^2}\right]=s^{2}I(s)$$

2.
$$\mathcal{L}\left[\frac{R}{L}\frac{di(t)}{dt}\right]=\frac{R}{L}sI(s)$$

3.
$$\mathcal{L}\left[\frac{i(t)}{LC}\right]=\frac{1}{LC}I(s)$$

4.
$$\mathcal{L}[\frac{V_0}{L}\delta (t)]=\frac{V_0}{L}$$

これらより、

$$s^{2}I(s)+\frac{R}{L}sI(s)+\frac{1}{LC}I(s)=\frac{V_0}{L}$$

$$(s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC})I(s)=\frac{V_0}{L}$$

よって、

$$I(s)=\frac{\frac{V_0}{L}}{s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}}$$

さらに、$B=\frac{R}{L}$, ${\omega }_0^2=\frac{1}{LC}$と置くと

$$I(s)=\frac{\frac{V_0}{L}}{s^2+Bs+{\omega }_0^2}$$

分母が2次式になったわね。ここでの根の判別によって、過渡応答が過減衰、臨界減衰、少減衰と分かれるんだっけ。

そうそう、$b^2={\omega }_0^2–\frac{B^2}{4}$の符号で解の形が変わるとばい。
$b^2＞0$なら振動する正弦波的解、$b^2=0$なら臨界減衰、$b^2＜0$なら指数関数的減衰になるちゃね。

RLC直列回路の過渡応答は

$$b^2={\omega }_0^2–\frac{B^2}{4}$$

この値によって解の形が変化します。
以下、3つの場合分けを行います。

$b^2>0$の場合

$$I(s)=\frac{\frac{V_0}{L}}{s^2+Bs+{\omega }_0^2}$$

ラプラス逆変換を行います。

$$\mathcal{L}[e^{-at}\sin \omega t]=\frac{\omega }{(s+a{)}^2+{\omega }^2}$$

これを置き換えると、

$$\mathcal{L}[e^{-\frac{B}{2}t}\sin bt]=\frac{b}{s^2+Bs+{\omega }_0^2}$$

ゆえに

$$i(t)=\frac{V_0}{L}\frac{1}{b}{e}^{-\frac{B}{2}t}\sin bt$$

おお、ちゃんと指数減衰した正弦波になった！RLC回路っぽいね。

そうたい、まさに減衰振動やね。
「こがん振動しよっと、まるでダンシングやんか～」なんて冗談たい！

ストーク、急にダジャレ入れんでもいいから…。

$b^2=0$の場合

$$b^2={\omega }_0^2–\frac{B^2}{4}=0$$

より、

$$I(s)=\frac{\frac{V_0}{L}}{(s+\frac{B}{2}{)}^2}$$

ラプラス逆変換より、

$$i(t)=\frac{V_0}{L}t{e}^{-\frac{B}{2}t}$$

臨界減衰の場合は、正弦項がなくなって指数関数×時間$t$になったんだね。

そーたい、ちょうど臨界的な減衰で振動しないけど、スッと減衰する感じっちゃ。

$b^2<0$の場合

$$I(s)=\frac{\frac{V_0}{L}}{s^2+Bs+{\omega }_0^2}$$

この場合は

$$i(t)=\frac{V_0}{L}\frac{1}{\sqrt{-b^2}}{e}^{-\frac{B}{2}t}\sinh (\sqrt{-b^2}t)$$

今度は過減衰で、ハイパボリックサインで表されるのね。振動もせず、ガクッと減衰していくわけだ。

うん、まさに過減衰やね。

機械力学（バネーダッシュポット系のインパルス応答）

次は、以下の方程式をラプラス変換によって解きます。

$$\frac{d^{2}x(t)}{d{t}^2}=-{\omega }_0^{2}x–2\gamma \frac{dx}{dt}+\frac{F}{m{\omega }_0}\delta (t)$$

今度は機械系だね。質量$m$にバネがついていて、ダッシュポットによる粘性減衰があり、そこにインパルス的な力を加えたときの応答かぁ。

そうたい、電気回路と機械系は対応関係があるとよ。ラプラス変換を使えば、力学系も同じように簡潔な代数方程式で解けるっちゃね。

一瞬だけ$F/m{\omega }_0$なる刺激を与えると、物体はどう運動するか？
初期条件は

$$x(0)=0,\frac{dx(0)}{dt}=0$$

ラプラス変換していくと、

1.
$$\mathcal{L}\left[\frac{d^{2}x(t)}{d{t}^2}\right]=s^{2}X(s)$$

2.
$$\mathcal{L}[-{\omega }_0^{2}x]=-{\omega }_0^{2}X(s)$$

3.
$$\mathcal{L}[-2\gamma \frac{dx}{dt}]=-2\gamma (sX(s))$$

4.
$$\mathcal{L}[\frac{F}{m{\omega }_0}\delta (t)]=\frac{F}{m{\omega }_0}$$

より、

$$s^{2}X(s)=-{\omega }_0^{2}X(s)–2\gamma sX(s)+\frac{F}{m{\omega }_0}$$

整理して、

$$(s^2+{\omega }_0^2+2\gamma s)X(s)=\frac{F}{m{\omega }_0}$$

$$X(s)=\frac{\frac{F}{m{\omega }_0}}{s^2+{\omega }_0^2+2\gamma s}$$

分母がやっぱり2次式で、減衰振動っぽい感じが出てるね。

うむ、この形も電気回路と同様、指数減衰した正弦関数的な解になるばい。

ここで、
$$\mathcal{L}[e^{-\gamma t}\sin \sqrt{{\omega }_0^2–{\gamma }^2}t]=\frac{\sqrt{{\omega }_0^2–{\gamma }^2}}{s^2+2\gamma s+{\omega }_0^2}$$

を用いると、

$$X(s)=\frac{F}{m{\omega }_0}\frac{1}{s^2+2\gamma s+{\omega }_0^2}$$

より

$$x(t)=\frac{F}{m{\omega }_0}\cdot \frac{1}{\sqrt{{\omega }_0^2–{\gamma }^2}}{e}^{-\gamma t}\sin \sqrt{{\omega }_0^2–{\gamma }^2}t$$

やっぱり、減衰した正弦波的な応答ね！インパルスを加えると、一瞬揺れて、だんだん落ち着いていく感じ。なるほど、電気回路と同じパターン。

そーたいそーたい！
電気回路も機械系も、同級生のわしらみたいに対応関係があるっちゃね。

また上手いこと言おうとしてる！まぁ、でも分かったよ。ラプラス変換で複雑な系もスッキリ解けるんだね。

以上のように、ラプラス変換を用いて、RLC回路やバネダッシュポット系のような複雑な微分方程式も体系的に解くことができました。

これで一通り、複雑な系でもラプラス変換で解く流れが分かったやろ？
なんか分からんとこあったら聞いてくれてよかばい！

うん、ありがとうストーク！これでますますラプラス変換が使いこなせそうだよ。