拡散方程式とは？そのイメージと導出方法をやさしく解説

一言でいうと？

「物質の広がり方を表す方程式」
　・・・①

方程式のイメージ

この方程式は例えば、
水槽の中にインクを入れたら、どんなふうに広がるのか？
というような問題に答える方程式です。「どんなふうに広がるのか？」を表現するから「拡散方程式」なのです。

基本的に物質は濃い方から薄い方へ移動していくんだ。
水槽の中にインクを入れたとき、インクが水槽全体に広がっていくことはあっても、
水槽全体に広がったインクが一部分だけ濃くなっていくことはないだろ？
拡散方程式を使えば、どのくらい時間が経ったら、どのくらいインクが広がっているのかがわかるんだ。

Cは物質の濃度[mol/L]、x,y,zは座標、tは時間を表します。∂は偏微分の記号です。

t=0におけるCの分布、つまりC(x,y,z,0)を与えて(これを”初期条件を与える”と呼びます)
この方程式を解けば
Cを時間tの関数と空間（x,y,z）の関数つまり、C(x,y,z,t)で表わすことができるので、

ある時間tにおける、ある場所(x,y,z)でのCの値を求めることができるのです。

ある時間、ある場所におけるCの値というのは、つまりどれだけ時間が経てば、どのくらいインクが広がっているかを現わしてるよな。

拡散方程式を使えばt=0の状態から未来のCの分布を予測できるわけなんだ。
そうやって考えるとなんだか魔法のような方程式な感じがしてこないか？

拡散方程式の導出

それでは、拡散方程式を導出していきましょう。

検査体積の物質収支

拡散方程式のような微分方程式を導出する際にはとても小さい空間での物理量(今回は濃度)のやり取りを考えます。今回は下図に示すような縦横高さΔx、Δy、Δzの空間を用意します。この空間のことを「検査体積」と呼ぶことがあります。

J(x)[mol･m^-2･s^-1]というのは単位時間、単位面積あたりに位置xから空間の中に入ってくる物質の量です。
※図ではJ(x)はJに縦棒立てて右下にxと示しています。これは教科書でもよくある書き方です。

J(x)にはs^-1の単位があるな。そうするとJ(x)は単位面積あたりで空間へ物質が入る速さとも考えられるよな。

今、空間の中に断面積ΔyΔzを通ってJ(x)の速さで物質が入り、J(x+Δx)の速さで物質が出ていくと考えます。空間の中に物質がたまっていく速さ(∂C/∂t)ΔxΔyΔzは

・・・②

で表わされます。

②の式のがイマイチ、ピンと来ない場合は身の回りの現象でイメージしてみるといい。

例えば、空間をお風呂と考えましょう。
風呂の栓を開けて蛇口を開きます。蛇口の開き具合が大きくてジャバジャバと水が入っていくほど(J(x)ΔyΔzが大きいほど)風呂の水は早く溜まっていきます。
ここで蛇口の閉めていきましょう。風呂の水が溜まる速さは遅くなっていき、今度は逆に水がなくなっていきます。

空間の中へ物質が出入りする速さは、
物質の溜まっていく速さと出ていく速さに効いてくる。
これがイメージ出来ればＯＫだ。

空間の中へ物質が出入りする速さ　＝　空間の中へ物質が入る速さ―空間の外へ物質が出ていく速さ

という考え方のもと②式が立てられます。②式を立てることを「物質収支をとる」と言います。

それから、②式の左辺と右辺の単位は必ず一致している。物質収支を立てる時はこれのチェックを欠かさずにやらないといけないんだ。

両辺の単位を検証してみましょう。

断面積ΔyΔzの単位はm²、J(x)の単位は[mol･m^-2･s^-1]です。ということはJ(x)ΔyΔzというのは断面積ΔyΔzを通って位置xから空間の中へ物質が入る速さです。単位は[mol･s^-1]です。

同様にJ(x+Δx)ΔyΔzというのは断面積ΔyΔzを通って位置x＋Δxから空間の外へ物質が出る速さです。単位は[mol･s^-1]です。

左辺の(∂C/∂t)ΔxΔyΔzの「ΔxΔyΔz」は空間の体積です。濃度[mol･m^-3]×体積[m³]は物質量[mol]ですね。これをtで微分しているわけですから、物質が溜まっていく速さ[mol･s^-1]を表します。左辺と右辺で単位が合いました。これで方程式として成立します。

今回は与えられた方程式を検証したが、本来は自分で方程式を立てなければいけない。
そういったときに、方程式の右辺と左辺の単位は必ず一致している。という考えの下、現象と方程式の辻褄が合うように単位を揃えていくという作業を意識しておけば、
間違った方程式を立てずに済む。
これは以前紹介した「物理や化学の計算が簡単にできる方法」の応用編だ。

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