色々無駄な情報がある中で、自分はどんな計算をして、どんな答えを出すべきなのかを検討するのも数学力の一つだよな。
それじゃ、上の方程式を解いていくぜ。まずは、問1で求めた極座標変換を施すと、調和関数は以下の様になる。

そして、次のポイント。zを動径rの関数として表しました。ということは、z = z(r)だよな。これが何を意味しているかわかるか？

そもそも、偏微分方程式って、2変数以上の関数に関する微分方程式だろ？zは元々何の関数だった？

そう。そういうこと！z = z(r)と置くことで、①式の微分演算子はこんな風に変形することができる。

そしたら、①式はこんな形の常微分方程式になる。

どうしてだ？

こういう時は、もし、微分の階数が1個ずつ下がったら解けそうか考えてみよう。

よし。じゃあ、そしたら、zの一階微分、dz/drを別の関数に置き換えてやろう。

じゃあ、実際にfについて解いてみよう

ここまで来たら、後はfをrで積分すればzを求めることができる。

ここで、C₂とC₃は任意の定数だ。
とりあえず、数検的にはこれで解答終了。お疲れ様でしたってとこだ。

これで終わりじゃ面白くないので、実際に撮影した写真を元に、George博士が言っていることがウソかまことかを検証してみよう。

なんだかムダにisoの高い写真になってしまっているが、それは置いておいて、
これは富士川の河川敷で、まっつが撮ってきた写真だ。

そうだな。日本一の山がアメリカ人に解析されたって言うのは、ちょっと日本人頑張れよって感じがするけどな。
それじゃ、写真を数式に適用できるように、まずは写真のスケールを決める。

東海道線の走る橋がある。今回、疑似的に東海道線の走る高さをゼロと置いた。そして、富士山の山頂から地面に向かって垂線を降ろした。
この垂線の長さが富士山の高さになる。富士山の高さは一義に決まる物だから、そこからスケールを決められるよな。

そういうこと。今回は、垂線の長さが3776mになるという制約条件のもと、1㎝の長さが500 mになるように写真の大きさを調節した。
つまり、垂線の長さが3776/500 = 7.55cmになるように写真の大きさを決めたんだ。

次にグラフを設置する。z軸は、先ほどの垂線の位置から少しだけずれることに注意する。

そういうことだ。グラフは1マス2㎝四方の方眼を用意してあげる。実際の長さは1マス1km四方ということになる。

次に、図から境界条件を決めてやる。問題文に3050m以下の部分なら調和関数の解で富士山の曲面が表現できるとあるので、z = 3050 mにおけるrの長さを測る。

いや、それだと、lnの無限大が計算できないだろ？今回は写真の端っこのrとzの値をもう一つの境界条件にした。

そしたら、この一組の連立方程式ができるから、定数を決めることができる。

そしたら、めでたく標高zに関する式が完成する。

まぁ、こんなもんじゃねぇか？
そもそも、自然に出来た山の形が対数関数一つで近似できるってなかなかスゲェことだと俺は思うけどな。

これで、アレだな。火口中心からの距離が分かれば、その地点における標高が分かるってことだ。