要は座標変換なんだよな。高校生の時に直交座標表示された方程式を出されて、これの極方程式を求めて、概形を書いたり最大値、最小値を求めたりとかしなかったか？

極方程式の形にはもはやxとyがなくて、rとθだけの式になっているよな。
x = rcosθとy = rsinθを上手く使って、与えられた方程式からx,yを消していき、r,θだけの式にする作業をやったんだよな。

今回はこれと同じことをラプラシアン演算子を対象にやるんだ。

そうだ。解答のイメージとしてはこんな感じだ。

〇〇のなかには、rとθの式が入る。地道にx,yを消していった結果、この〇〇の中にrとθで表される項が出てくる。その項を求めていくぞ。

2変数関数の合成関数の微分にはチェイン・ルールという、定理がある。

今回の場合、x = rcosθ、y = rsinθなので、ちゃんとx,yはr,θの関数になっている。もちろん偏微分も可能だ。

最終目標はr,θだけの式にすることだったよな？赤や青で囲った部分というのはxの偏微分が出ているから邪魔だ。式変形してあげなければならない。

そうそう。問題に与えられているx = rcosθ、y = rsinθから、rは簡単にxとyの式にすることができるよな。ついでに、θもxとyの式にできるよな。

その上で、赤四角で囲った部分を計算してみるぞ。微分の基本的な計算だ。
この計算の流れがちょっと理解しづらい場合は、高校数学の合成関数の微分のところを復習しよう。

同様に青四角の部分もこんな感じに求められる。Tan^-1θの微分は1/(1+θ²)だったな。

そしたら、さっきのチェイン・ルールで出てきた式①は以下のように変形される。

そうなんだ。こういう作業を地道に続けていく。

さっきと同じ手順で∂/∂yも極座標化するぞ。

まぁ、基本的にxとyが入れ替わって同じことをするだけだからな。

今回、俺らが求めなくちゃいけないのは、2階偏導関数だ。先ほど求めた1階偏導関数をもう一回偏微分する。カッコの中はさっき求めた∂/∂xで④式だ。

今回、気を付けなくちゃいけないのは、カッコの中をxで偏微分する計算を行うことになる。ただの掛け算じゃなくて微分しているということを意識しないといけない。

そうなんだ。ただ単に各項に∂/∂xを付けるわけじゃないんだ。

この計算で、赤、青、緑、紫の四角で示した部分はxが入り混じってるな。再びxを消していくという作業をするぞ。

青四角の部分だが∂/∂xが出てきているので、チェイン・ルール（①式）を使う。その時に∂r/∂xやら∂θ/∂xが出てきているが、これらは1階偏導関数を求めたときに既に計算しているよな。②式と③式だ。今回はその計算は省略するぜ

よし。これで∂²/∂x²を求める材料がそろったな。⑩式に⑪～⑭式を代入していくぞ。

単に赤、青、緑、紫の部分を式変形してrとθだけの式にして、代入しているだけだ。ちょっと長い式だが、x,yは消え去って、r,θだけになっているのがわかるだろう？

あと、∂²/∂y²

こういう時は、偏微分演算子の種類ごとに分けて足し合わせていけばいいんじゃないか？∂²/∂x²にも∂²/∂y²にも同じ偏微分演算子があるわけだし。⑮式と㉑式を参照するぜ。

これで各偏微分演算子の項が分かるようになったな。これでラプラシアンの極座標表示は完了だ。