大学生向け　空はなぜ青く、夕焼けはなぜ赤いのか――レイリー散乱を式でつなぐ

昼間の空が青く、夕焼けが赤く見える理由は、どちらも大気中での波長依存散乱にあります。
出発点はレイリー散乱の

$$\sigma(\lambda)\propto \frac{1}{\lambda^4}$$

という関係です。
短波長ほど散乱断面積が大きいので、青い光は赤い光よりも大気の影響を強く受けます。

ただし、この式だけでは「散乱されやすさ」までしか言えていません。
観測者が見るのは散乱断面積そのものではなく、そこから作られる光学的厚さと、それを通った結果としての光です。
だから流れとしては、散乱断面積 → 光学的厚さ → 観測される光 の順にたどる必要があります。

昼の青空では、観測者は大気中で散乱されて視線方向へ入ってきた散乱光を見ています。
夕焼けでは、長い光路を通って青成分がより強く削られた直達光を見ています。
この記事では、この二つを同じ波長依存から出発して、同じ計算の土台で並べます。

空の色を理解するには、まず空を「青い物体」として扱わないことが重要です。
私たちが見ているのは大気という体積の中で散乱された光、あるいは大気を通過して減衰した直達光です。
したがって本題は、「空は何色か」ではなく、「どの波長の光が、どんな経路を通って観測者へ届いたか」です。

この見方を取ると、考えるべきものは三つに分かれます。
太陽という光源、大気という媒質、そして視線方向を持つ観測者です。
昼の青空と夕方の赤い空は、この三者の関係の違いとして書けます。

大気分子のように、散乱体のサイズが光の波長より十分小さいとき、散乱はレイリー散乱として近似できます。
このとき、波長 $ \lambda $ に対する散乱断面積 $ \sigma(\lambda) $ は

$$\sigma(\lambda)\propto \frac{1}{\lambda^4}$$

と書けます。
ここで $ \sigma(\lambda) $ は、その波長の光がどれだけ散乱されやすいかを表す量です。
波長が短いほど $ \sigma(\lambda) $ は急激に大きくなるので、青や紫に近い光は赤い光よりも大気分子によって強く散乱されます。

ただし、この式はまだ「1個の分子がどれだけ散乱させるか」の話です。
実際の大気では、分子が経路上にどれだけ存在するかも効きます。
そこで、光路に沿った位置を $ s $、その位置での散乱体の数密度を $ n(s) $ とすると、光学的厚さ $ \tau(\lambda) $ は

$$\tau(\lambda)=\int n(s)\,\sigma(\lambda)\,ds$$

と書けます。
ここで $ n(s) $ は、その場所に散乱体がどれだけ詰まっているかを表します。
$ \sigma(\lambda) $ が1個あたりの散乱されやすさ、$ n(s)\,ds $ が微小区間にある散乱体の数に対応するので、$ \tau(\lambda) $ は光路全体での散乱・減衰の総量です。

さらに、密度を一定とみなす最も単純な近似では

$$\tau(\lambda)\approx n\,\sigma(\lambda)\,L$$

と書けます。
ここで $ n $ は代表的な数密度、$ L $ は代表的な光路長です。
この形にすると、短波長ほど $ \sigma(\lambda) $ が大きいので $ \tau(\lambda) $ も大きくなり、青い光のほうが赤い光より大気の影響を強く受けることが見えやすくなります。

ここが今回の芯です。
光学的厚さ $ \tau(\lambda) $ は、あくまで「通り道がどれだけ光を弱めそうか」という媒質側の量です。
観測者が実際に見るのは $ \tau $ そのものではなく、$ \tau $ を通った結果として残った光、あるいは散乱されて視線方向へ入ってきた光です。

直達光なら、最も基本的には

$$I(\lambda)=I_0(\lambda)\exp[-\tau(\lambda)]$$

と書けます。
ここで $ I_0(\lambda) $ は媒質へ入る前の光、$ I(\lambda) $ は観測者へ届いた直達光です。
$ \tau(\lambda) $ が大きいほど、その波長の光はより強く失われます。

一方、青空のように散乱光を見るときは、単一散乱の粗い近似として、視線方向へ入ってくる散乱光強度を

$$I_{\mathrm{sca}}(\lambda)\propto I_0(\lambda)\,\tau(\lambda)$$

と読むことができます。
これは、光学的厚さが小さい範囲で、散乱によって取り出される光が $ \tau(\lambda) $ に比例するとみなした最も単純な形です。
厳密な放射伝達方程式では散乱角依存や再散乱も入りますが、青空と夕焼けを同じ土台で並べるには、この近似が十分に本質を見せます。

つまり同じ $ \tau(\lambda) $ が、直達光では「残る光の少なさ」として、散乱光では「こちらへ入ってくる光の多さ」として現れます。
青空と夕焼けが同じ波長依存から出ると言うなら、この接続を省いてはいけません。

ここでは、青側の代表として $ \lambda_B=450\ \mathrm{nm} $、赤側の代表として $ \lambda_R=650\ \mathrm{nm} $ を取ります。
レイリー散乱の $ \lambda^{-4} $ によって、散乱断面積の比は

$$\frac{\sigma(\lambda_B)}{\sigma(\lambda_R)}=\left(\frac{\lambda_R}{\lambda_B}\right)^4=\left(\frac{650}{450}\right)^4\approx 4.35$$

となります。
つまり青側の光は赤側の光より、およそ 4 倍強、強く散乱されます。
この同じ比が、昼の青空と夕方の赤い空の両方に効いてきます。

昼の青空：散乱光として見る

昼間、私たちが太陽そのものではなく空のある方向を見ているとき、主に見ているのは大気中で散乱されて視線方向へ入ってきた光です。
単一散乱の粗い近似

$$I_{\mathrm{sca}}(\lambda)\propto I_0(\lambda)\,\tau(\lambda)$$

を使い、可視域での太陽光スペクトル $ I_0(\lambda) $ の差をまずは大きくないとみなすと、散乱光の青赤比はほぼ $ \tau $ の比で決まります。
同じ経路なら $ \tau(\lambda)\propto \sigma(\lambda) $ なので、

$$\frac{I_{\mathrm{sca}}(\lambda_B)}{I_{\mathrm{sca}}(\lambda_R)}\approx \frac{\tau(\lambda_B)}{\tau(\lambda_R)}\approx \frac{\sigma(\lambda_B)}{\sigma(\lambda_R)}\approx 4.35$$

です。
つまり、昼の散乱光では青側がかなり優勢になります。
これが青空の計算上の芯です。

夕方には、なぜ減衰が強くなるのか

夕方の赤さを理解するには、ここで急に新しい法則を持ち込む必要はありません。
必要なのは、同じ大気でも、太陽が低くなると光が通る距離が長くなる、という幾何の差です。

先ほど、光学的厚さは

$$\tau(\lambda)\approx n\,\sigma(\lambda)\,L$$

と近似できると書きました。
ここで $ L $ は代表的な光路長です。
したがって、太陽高度が低くなって光路長が長くなれば、光学的厚さもそのぶん大きくなります。
夕方に赤さが強まる最初の理由は、散乱法則が変わるからではなく、同じ大気を通る光路長が長くなるからです。

そこで、鉛直方向に大気を通るときの光学的厚さを $ \tau_0(\lambda) $ とし、実際の斜めの光路がそれに対して何倍長いかを表す量をエアマス $ m $ とおくと、

$$\tau(\lambda)=m\tau_0(\lambda)$$

と書けます。
エアマスは、散乱の新しい物理ではなく、あくまで「鉛直方向より何倍長い距離を通ってきたか」を圧縮した幾何学的な係数です。

夕方の空：直達光として見る

夕方には、太陽方向から来る直達光が長い大気光路を通ります。
その直達光は

$$I(\lambda)=I_0(\lambda)\exp[-m\tau_0(\lambda)]$$

と書けます。
ここで $ I_0(\lambda) $ は大気へ入る前の太陽光スペクトル、$ I(\lambda) $ は観測者へ届く直達光です。
太陽が低いほど $ m $ は大きくなり、短波長側はより強く減衰します。

ここでは、赤側の鉛直方向光学的厚さを

$$\tau_0(\lambda_R)=0.10$$

と置きます。
レイリー散乱の波長依存だけで青側を見積もると、

$$\tau_0(\lambda_B)\approx 4.35\times 0.10=0.435$$

です。
夕方の例としてエアマスを $ m=5 $ とすると、透過率は

$$\frac{I(\lambda_R)}{I_0(\lambda_R)}=\exp[-5\times 0.10]=e^{-0.5}\approx 0.61$$

$$\frac{I(\lambda_B)}{I_0(\lambda_B)}=\exp[-5\times 0.435]=e^{-2.175}\approx 0.11$$

となります。
赤側は 6 割ほど残るのに対し、青側は 1 割程度まで強く落ちます。
つまり、夕方の直達光では青が強く削られ、赤や橙が相対的に残ります。

夕焼けを「赤が増える」ではなく「青が抜ける」と言う理由

上の計算で重要なのは、夕方に起きていることが「赤成分の新規生成」ではなく「青成分の優先的な減衰」だとはっきり見えることです。
赤の透過率が $ 0.61 $、青の透過率が $ 0.11 $ という差は、青が長い大気光路でより強く散乱されて直達光から失われることを示しています。
だから夕焼けの赤さを表すなら、「赤が増えた」より「青が抜けた」と言うほうが物理の中身に近いです。

短波長ほど散乱されるなら、なぜ空は紫ではなく青なのか

レイリー散乱の $ \lambda^{-4} $ だけを見ると、青よりもさらに短波長の紫のほうが強く散乱されるはずです。
それでも空が青く見えるのは、見える色が散乱断面積だけでは決まらないからです。

太陽光スペクトルは可視域で一様ではなく、人間の視覚感度も紫側で高くありません。
さらに大気中の減衰や散乱後の角度分布も入ります。
したがって観測される色は、ざっくり言えば

$$\text{観測スペクトル}\sim \text{光源スペクトル}\times \text{散乱・減衰}\times \text{幾何}\times \text{視覚応答}$$

の積として考える必要があります。
レイリー散乱はその中の中心的な一因ですが、それだけで可視の色名までは決まりません。

天頂付近と地平線付近で空の色が違う理由

天頂付近の空は比較的深い青に見えやすい一方、地平線付近では白っぽく淡く見えやすくなります。
これは視線方向によって光路長が変わり、再散乱やエアロゾル散乱の寄与が増えるためです。

地平線方向では大気を長く通るので、単一の分子散乱だけでは済みません。
エアロゾルによるミー散乱は波長依存性が弱く、スペクトル差をならして白っぽさを増します。
さらに多重散乱が加わると、単一散乱近似だけで予想される鮮やかな青から離れやすくなります。

だから、地平線付近の白っぽさはレイリー散乱の否定ではなく、単一散乱近似だけでは足りないことを示す現象です。

同じ比を、昼と夕方でどう読むか

今回の計算で中心だったのは、青側と赤側で散乱断面積が約 4.35 倍違うという一点です。
昼ではその比が散乱光強度比として現れ、夕方では減衰の強さの差として現れました。
つまり、青空と夕焼けをつなぐ最短経路は、「波長依存が同じでも、観測する光の種類が違えば見え方は逆転する」という見方です。

散乱断面積だけで見える色を決めてはいけない理由

今回は 450 nm と 650 nm の二点比較で骨格を見ましたが、実際の色は連続スペクトル全体で決まります。
さらに、散乱断面積だけではなく、太陽光スペクトル、光路長、視線方向、視覚応答まで入れてはじめて「見える色」が出てきます。
計算例は、その全体の中で何がまず効くかをはっきり見せるための骨組みです。

単一散乱近似は、どこまで有効か

昼の青空で使った

$$I_{\mathrm{sca}}(\lambda)\propto I_0(\lambda)\,\tau(\lambda)$$

という式は、散乱光の波長依存の芯を見るには有効ですが、散乱角依存や再散乱を落としています。
夕焼けの

$$I(\lambda)=I_0(\lambda)\exp[-m\tau_0(\lambda)]$$

も直達光の減衰を見るには強力ですが、天空全体の色分布を一式で与えるわけではありません。
どの式も、何を代表し、何をまだ落としているかを意識して読む必要があります。

昼間の空が青く見えるのは、レイリー散乱により短波長成分が強く散乱され、その散乱光を観測者が見ているからです。
夕焼けが赤く見えるのは、長い大気光路を通る直達光の短波長成分が強く減衰し、赤い成分が相対的に残るからです。

その両方をつないでいるのが

$$\sigma(\lambda)\propto \frac{1}{\lambda^4}$$

と

$$\tau(\lambda)=\int n(s)\,\sigma(\lambda)\,ds$$

そして

$$I(\lambda)=I_0(\lambda)\exp[-\tau(\lambda)]$$

および

$$I_{\mathrm{sca}}(\lambda)\propto I_0(\lambda)\,\tau(\lambda)$$

という接続です。
散乱断面積から光学的厚さをつくり、そこから観測される光へ落とす。
この順番を守ると、青空と夕焼けは別々の雑学ではなく、同じ大気中光伝播の二つの顔として見えてきます。