資料請求番号：TS55

McCabe-Thieleによる階段作図を連立方程式にする

はしがき

工学部化学系の学生は「分離工学」あるいは「化学工学」などといった講義の名前で「精留塔の理論段数を求める方法」として「McCabe-Thiele法による階段作図」を学ぶと思いますが、

「理論段数を求める方法だけ知っているけど、何をしているのかよくわからない」

という学生が多いと思いますし、私もその一人でした。しかも、この講義の単位は

「与えられた情報を使って階段作図して理論段数を求める」

というマニュアルのやり方さえできてしまえば、単位が取れてしまうのです。

私の場合、別の講義名で階段作図に関する講義を合計2回受けることができたので、1回目はマニュアル通りやって単位をとったものの、2回目でその中身を少し知ることができました。それ以降も時間があれば、個人的に勉強を進めています。

本記事は現在の理解度に基づくアウトプットになります。

McCabe-Thiele作図は何をしているのか？

McCabe-Thiele作図で何をしているのか？と問われれば、一言で「連立方程式を解いている」と答えます。

McCabe-Thiele作図では、青色が「気液平衡線図」、灰色が「濃縮部操作線」、黄色が「回収部操作線」に関する方程式をグラフ上で表しており、

上記のグラフに階段状に線を引いて理論段数を求める行為が青、灰、黄で示した方程式を連立して解く行為に相当します。

今回は、各線の連立方程式を明文化し、実際にそれを解くことでMcCabe-Thiele作図を理解するということを目的としています。

課題例

相対揮発度α=2.5(ベンゼン-トルエン系)の2成分混合液を分離するために、下記に示すような理論段数8の精留塔を使用する。F = 1kmol/h, z_F = 0.6,　q = 1（沸点の液供給）、D = 0.611 kmol/h(留出流量)、還流比R = 2としたとき、塔の分離性能x_D、x_Wおよび、塔内濃度分布(x₁~x₈, y₂~y₉)を求めよ。

塔の分離性能x_Dおよびx_Wおよび塔内濃度分布(x₁～x₈、y₂～y₉)を求めるということは、低沸点成分濃度に関する未知数が18個あるわけですから、低沸点成分濃度に関する、18個の方程式が必要となります。

この18個の方程式を獲得するために「気液平衡関係」と「物質収支」の考え方を使います。

気液平衡関係

気液平衡について、こちらのページで

蒸気圧の高い物質と蒸気圧の低い物質が混合していたとして、その混合物を密閉容器に入れ、温度を一定にし、気液平衡状態にしたらどうなるでしょうか？
液体部分（＝液相）よりも気体部分（＝気相）のほうが「蒸気圧の高い物質」の濃度が高くなっているはずです。

と説明しました。

ここで、液相と気相との間でどのくらい「蒸気圧の高い物質（＝低沸点成分）」の濃度が高くなっているのか？

を定量的に示した最も簡単なモデル式(ラウール則を基本としたモデル式)が以下の通りです。

αは両成分の飽和蒸気圧の比であり、相対揮発度と呼びます。

「低沸点成分の飽和蒸気圧/高沸点成分の飽和蒸気圧」

で表されます。

各物質の飽和蒸気圧というのは、温度依存性が強いものですが、比とすることによって、温度依存性はほぼなくなります。多くの物質が絶対温度の変化に対して同じような飽和蒸気圧の変化の応答をするためです。

従って、αの値は精留塔内のどこでも使用することができます。精留塔設計の問題を解く際にはαが一定であることが当たり前のように取り扱われておりますが、このような物理化学的背景があることを知っておいた方がよいと思います。

x_i, y_iは精留塔各段における、液相、気相内の低沸点成分濃度です。

例えば、精留塔３段目に着目すると、３段目から上がる蒸気の低沸点成分濃度は
３段目から落ちる液体の低沸点成分濃度と表現できます。

この気液平衡関係から(x₂,y₂)、(x₃,y₃)、(x₄,y₄)、(x₅,y₅)、(x₆,y₆)、(x₇,y₇)、(x₈,y₈)、(x_W,y₉)の関係を表す8個の方程式が得られるので、18個中8個の式を獲得したことになります。

物質収支

精留塔全体の物質収支

精留塔全体を領域（赤い網掛けの部分）として物質収支をとると以下の２つの式が得られます。１つ目の式は精留塔に出入りする物質すべての物質収支、２つ目の式は精留塔に出入りする物質のうち、低沸点成分の物質収支です。

②式は低沸点成分濃度の物質収支式の1つになりますから、これで18個中の1個が獲得できます。

留出部の物質収支

原料供給段以上の部分を「留出部」といいます。

青い網掛けの部分で物質収支をとったとき、青い網掛けの部分からはLの流量の液とDの流量の液が出ます。これと同時にVの流量の蒸気が入ります。

V = L + D　①

Lの流量の液の低沸点成分濃度はx₂であり、Dの流量の液の低沸点成分濃度はx_Dです。Vの流量の蒸気の低沸点成分濃度はy₃ですので

Vy₃ = Lx₂ + Dx_Dが成立します。②

①と②からy₃ とx₂ の関係式を作ります。これが留出部の操作線の式です。

同様に４段目、５段目でも物質収支をとり、y₄とx₃、y₅とx₄ の関係式を得ます。

以上で(x₂,y₃)、(x₃,y₄)、(x₄,y₅)の関係を得ることができますので、18個中3個の式を獲得できます。

回収部の物質収支

原料供給段以下の部分を「回収部」といいます。

緑色網掛けの部分で物質収支をとったとき、緑網掛けの部分からはL’の流量の液が入ります。これと同時にV’の流量の蒸気とWの流量の液が出ます。

L’ = V’ + W　①

なお、L’の流量の液の低沸点成分濃度はx₅であり、Wの流量の液の低沸点成分濃度はx_Wです。V’の流量の蒸気の低沸点成分濃度はy₆ですので

L’x₅ = V‘y₆+ Wx_Wが成立します。②

次にL‘, V‘を、LおよびVで表現します。原料供給段における物質収支から③式が得られます。これでL‘をLで表現できます。

次にV‘をVで表現します。回収部全体の収支式①と③式から

上記のようにして④式を得ることができます。

L‘およびV‘に関する③、④式を②式に代入して⑤式を得て、これをy₆について解けばy₆とx₅ の関係式(⑥式)が得られます。これが回収部の操作線の式です。

同様に７段目、８段目、リボイラー段でも物質収支をとり、y₇ とx_6、y₈とx_{7 、}y₉とx₈の関係式を得ます。

以上で(x₅,y₆)、(x₆,y₇)、(x₇,y₈)、(x₈,y₉)の関係を得ることができますので、18個中4個の式を獲得できます。

塔頂での関係

塔頂における青い網掛けの部分では低沸点成分濃度が全て同じです。濃度y₂で上がってきた蒸気をそのまま凝縮させ、濃度x₁の液として還流したり、濃度x_Dの液の留分を得ているのです。

従って、

y₂ = x₁と

x₁ = x_Dの2式が成立し、18個中2個の式を得ることができます。

低沸点成分濃度に関する18個の未知数と式

今回の問題は

「塔の分離性能x_D、x_Wおよび、塔内濃度分布(x₁~x₈, y₂~y₉)を求めよ。」

という問題でしたので、未知数は18個ということになり、それに関する16個の式を「気液平衡関係」「物質収支」から取得し、y₂, x₁, x_Dは同じ濃度であることから合計18個の式を取得することができました。

これらを連立して解けば、ある塔にある2成分混合物を投入したときに分離性能と塔内濃度分布を求めることができます。連立方程式の解法はExcelのソルバーなどが手軽です。

まとめ

今回はMcCabe-Thiele作図で何をやっているのかを理解するために、「気液平衡線図」、「濃縮部操作線」、「回収部操作線」に関する方程式を定式化しました。McCabe-Thiele作図では、グラフ上で連立方程式を解いていることを説明し、その連立方程式を「気液平衡関係」と「物質収支」から示しました。

この定式化によってExcelでの取り扱いが可能になります。ASPENやProⅡの中身を理解するのにも役に立つと思います。

大学で学ぶ作図による解法はx_Dおよびx_Wが決定していて、段数を求める問題が多いと思いますが、このような問題はマクロを組んで上記の作業を反復することによって解けると思います。