おっけーだ。

まぁ、これくらいなら出来て当たり前だな。

この時点で躓いてしまう場合は、この先ついて行くのはかなり難しいと思うから、部分積分の計算の記事を見て復習せないかん。
あと、躓く要素としては・・・合成関数の微積分だな。例えば積分した際に1/πが出てくるところがよく分かっていない人は合成関数の微分から復習しよう。
それから、cosπとかcos0が一瞬で出てこない人は三角関数をしっかり復習しよう。
これから先は、これらが当たり前にできること前提で話を進めてくったい。

ところでオマエ、I₁を計算するとき、

とか

の計算に30秒くらいかかっていたが・・・

・・・フッ（笑）

はいはい、わかりましたよ～。次、漸化式を求めるが、そこんとこアタマ入れて置けば計算がスムーズに進むったい。

それじゃ、問題の漸化式の証明に移るぞ。

今回の場合、I_n+1の値がI_nとかI_n-1で表されることを示したいので、
I_n+1を求めることをやってみよう。

ここで部分積分の計算をするんだが、微分役をtのn乗うんたらかんたらに、積分役をsinπtにする。シママ、やってみろ。

積の微分公式と合成関数の微分使えばできるやろ。

やりなおし。インテグラルの中身以外のところでもっと簡単にできるところがある。

よし。じゃあ、これをもう一回部分積分だな。

俺らが求めたいのは漸化式だろ？もう一回積分すりゃ、cosがsinになって漸化式ができそうな気がしないか？

どうした？手が止まったが・・・。

漸化式を作るときっていうか、証明問題を解くときの鉄則。
邪魔者は排除する。
この式における邪魔者は？

じゃ、こうすればええんじゃないのか？

はい。おめでとさん。次行くぞ。

aⁿI_nの極限値だな。解くのに何か案が思いつくか？

ヒント。tの定義域は0~1だ。この情報から、aⁿI_nが取り得る最大の数が求められるたい。

I_nは何だった？もう一回見てみろ

・・・・。

やるやん。

最初手も足もでなかったくせに。よく言うぜ。

じゃ、πが無理数であることを証明しようか。どうやる？

わかんないのか？

とりあえず背理法でやろうというアプローチは正解だ。
元々、有理数の定義ってのが二つの整数の比で表される実数ってことだから、二つの整数p,qを置いて、その比をπに代入し、
シママが最後に書いた式の矛盾を証明すればOKだ。

受験数学もそうだが、学校の定期テストってのは、
大問の最後の問題を解くヒントのために、大問までの問題が用意されていることが多いたい。
ドラマやアニメにも伏線ってのがあるだろう？伏線をキレイに踏んでるドラマやアニメは面白いよな。
試験問題も同じで伏線をしっかり踏んだ問題は面白い。「πは無理数」という結末に対して2つの伏線がある。
オマエが最後に書いた式は1つ目の伏線だ。あと、もう1つ伏線があるやろ？

そうだな。じゃあ、この伏線に沿うように式を変形していけばいいんじゃないのか？
何のために阪大の先生はaⁿI_nの極限を求めさせたんか？

もう一声！！

・・・・・・・。

どうやって証明するの？

ヒント。最初の最初に解いた2つの式。I₀, I₁から

おつかれさん。

さぁな。興味ないったい。

あぁ、「受験の神様」のことか？あの問題、クソ簡単だぜ。東大の入試問題にこんな簡単なのでるのか～思てな。
多分、「複雑な形を細かく分割して解析する」っていう古典数学の思想の根本がスッポリ抜けてるヤツにはできないのかもしれない。
それを振るいにかけたかったんじゃないやろかって思うたい。
やるか？

あ、じゃあ、一言だけ。

成海璃子ちゃんは「加法定理を使った証明に移りますが・・・」と言っていたが、数学Ⅱの加法定理なんか使わなくてもよか。
数学Ⅰの余弦定理でえぇ。

（なんだかんだで興味持ってんじゃねぇか。）
円に内接する正12角形一個の2つの辺の長さとそれを作る角の角度はわかるやろ？

そしたら、最後の一つの辺の長さは余弦定理で出るたい。それを12倍して、それと2πを比較すりゃええやろ。

しかも、これ正十二角形じゃなくて正八角形でもええたい。計算すると、ぎりぎり3.05以上になるたい。

俺、このドラマ観た瞬間に加法定理？いや、余弦定理でええやろって思て。
それから、いろいろ3.05よりも大きいことを証明する方法を考えてた。

あ。

今、思いついたんだが、マクローリン展開でもできるやろ。やってみようか。